Chapter 3¶
约 1590 个字 7 张图片 预计阅读时间 8 分钟
Multiplication -- v3¶
其流程大概是，一共进行 64 次：
- 判断 Product 寄存器的最低位是否是 1：
- 如果是，则将 Multiplicand 寄存器的值加到 Product 寄存器的左半部分里；
- 如果否，进入下一步；
- 将 Product 寄存器的值右移一位；
- 判断是否做满 64 次，决定是否终止；
Booth's Algorithm¶
- Assumes: Z = \(y \times 10111100\)
- Action
| 1 | 0 | subtract Multiplicand from left |
|---|---|---|
| 1 | 1 | no arithmetic operation-shift |
| 0 | 1 | add multiplicand to left half |
| 0 | 0 | no arithmetic operation-shift |
- \(Bit_{-1} = '0'\)
Division -- v3¶
其流程大概是，一共进行64次（v1版本要进行65次）：
- Remainder 寄存器左移一位，移出来空位置给商；
- 将 Divisor 寄存器中的数从 Remainder 寄存器的左边减掉，并把结果放在左半边；
- 判断 Remainder 寄存器与 0 的大小；
- 如果大于等于 0 那么将 Remainder 寄存器左移一位并把最右一位（也即刚移出来的0）改为1，进入第6步；
- 如果小于 0 那么将 Divisor 寄存器中的数再加到 Remainder 寄存器的左边，再将 Remainder 寄存器左移一位，进入第6步；
- 判断是否做满64次，决定是否终止；
Signed Division¶
IEEE 754 浮点表示¶
我们将小数点左边只有 1 位数字的表示数的方法称为 科学记数法, scientific notation，而如果小数点左边的数字不是 0，我们称这个数的表示是一个 规格化数, normalized number。科学记数法能用来表示十进制数，当然也能用来表示二进制数。
IEEE 754 规定了一种浮点数标准：我们将浮点数表示为 \((−1)^S \times F \times 2^E\) 的形式，这里的 \(F \times 2^E\) 是一个规格化数，而 \((−1)^S\) 用来表示符号位：S 为 0 说明该浮点数为正数，为 1 则为负数；F 和 E 也用若干 bits 表示，分别表示尾数和指数，我们稍后讨论。也就是说，我们将其表示为 \(1.xxxxx_2 \times 2^{yyyy}\) 的形式这意味着我们没法直接通过这种表达形式表示 0（为什么小数点左边是 1 呢？因为二进制只有 0 和 1，而规格化要求小数点左边不能为 0）。我们通过科学记数法调整了小数点的位置使其满足规格化的要求，因此我们称这种数的表示方法为 浮点, floating point。
小数点的英文是 decimal point，但是我们这种表示方法不再是 decimal 的了，因此我们起个新名字：二进制小数点, binary point。
IEEE 754 规定了两种精度的浮点数格式，分别是 single precision 和 double precision（分别对应 C 语言中的 float 和 double ），RISC-V 这两种都支持：
在上表中：
- 第 1 条表示 0；
- 第 2 条表示非规格化数，这种数主要是为了用来表示一些很小的数，它的取值为 \((−1)^S \times (0+fraction) \times 2^{−bias}\)；但是并非所有机器都支持这种表示，有的机器会直接抛出一个 exception。我们不考虑非规格数的存在；
- 第 3 条表示正常的浮点数；
- 第 4 条表示无穷大或者无穷小，出现在 exponent overflow 或者浮点数运算中非 0 数除以 0 的情况；
- 第 5 条表示非数，出现在 0/0, inf / inf, inf - inf, inf * 0 的情况
（如果数字过大不能表示，即 overflow，则结果置为 inf；如果数字过小不能表示，即 underflow，则结果置为 0。）
这两种表示法的范围和精度分别是多少呢？
- 范围
- 能表示值的 绝对值 的范围是 \(1.0_2 \times 2^{1−bias} ∼ 1.11\dots11_2 \times 2^{11 \dots 11_2 − 1 − bias}\)，即 \(1 \times 2^{1−bias} ∼ (2 − 2^{-Fra\#}) \times 2^{(2^{Exp\#} - 1) - 1 - bias}\)，其中
Fra#和Exp#分别表示 fraction 和 exponent 的位数； - 单精度浮点数：\(±1 \times 2^{−126}∼±(2−2^{−23}) \times 2^{127}\)
- 双精度浮点数：\(±1 \times 2^{−1022}∼±(2−2^{−52}) \times 2^{1023}\)
- 精度
- \(2^{-Fra\#}\)
- 单精度浮点数：\(2^{−23}\)
- 双精度浮点数：\(2^{-52}\)
Binary Floating-Point Addition¶
以 \(1.000_2 \times 2^{−1} − 1.110_2 \times 2{−2}\) 为例， 浮点数的加减法分为以下几步：
- Alignment: 指数对齐，将小指数对齐到大指数：
\(−1.110_2 \times 2^{−2} = −0.111_2 \times 2^{−1}\)
-
为什么是小对大？首先，小对大的过程是在小指数的 fraction 前补
0，可能导致末尾数据丢失；大对小的过程是在大指数的 fraction 后补0，可能导致前面的数据丢失。在计算过程中，我们保持的精确位数是有限的，而在迫不得已丢去精度的过程中，让小的那个数的末几位被丢掉的代价比大的前几位丢失要小太多了； -
Addiction Fraction 部分相加减：\(1.000−0.111=0.001\)
-
Normalization: 将结果规格化：\(0.001 \times 2^{−1} = 1.000 \times 2^{−4}\)；同时需要检查是否出现 overflow 或者 underflow，如果出现则触发 Exception
-
Rounding: 将 Fraction 部分舍入到正确位数；舍入结果可能还需要规格化，此时回到步骤 3 继续运行
Binary Floating-Point Multiplication¶
分别处理符号位、exponent 和 fraction：
- 将两个 Exponent 相加并 减去一个 bias，因为 bias 加了 2 次
- 将两个 (1 + Fraction) 相乘，并将其规格化；此时同样要考虑 overflow 和 underflow；然后舍入，如果还需要规格化则重复执行
- 根据两个操作数的符号决定结果的符号
Accurate Arithmetic¶
Extra bits of precision (guard, round, sticky)
guard和round就是正常后面两位sticky是round是否还有非0数。round后面全为0则sticky为0。round后面有非0则sticky为1。
Round to nearest even¶
Rounding to nearest even(Keep LSB to 0 when extra bits are 100)
\(0101010100|011 -> 0101010100 (+0)\) \(0101010101|011 -> 0101010101 (+0)\) \(0101010100|100 -> 0101010100 (+0,keep LSB to 0)\) \(0101010101|100 -> 0101010110 (+1,keep LSB to 0)\) \(0101010100|101 -> 0101010101 (+1)\) \(0101010101|101 -> 0101010110 (+1)\)
三舍五入四成双
Units in the last place(ulp)：精度损失的最小单位
则该精度为 0.5 ulp。