Chapter 1 概率论的基本概念¶

约 2838 个字 20 张图片预计阅读时间 14 分钟

样本空间与随机事件¶

随机试验的特点¶

可以在相同条件下重复进行
事先知道可能出现的结果
进行试验前并不知道哪个试验结果会发生

样本空间¶

定义：随机试验 E 的所有结果构成的集合称为 E 的样本空间，记为 S，称 S 中的元素 e 为样本点。

随机事件¶

称 S 的子集 A 为 E 的随机事件 A，简称事件 A。当且仅当 A 所包含的一个样本点发生称事件 A 发生。

随机事件有以下特征：

事件 A 是相应的样本空间 S 的一个子集，其关系可用维恩(Venn)图来表示
事件 A 发生当且仅当 A 中的某一个样本点出现
事件 A 的表示可用集合，也可用语言来表示

基本事件：由一个样本点组成的单点集。

必然事件：每次试验 S 总是发生。

不可能事件：记Φ为空集，不包含任何样本点，则每次试验Φ都不发生。

事件的相互关系¶

包含 | 和事件 | 积事件 | 逆事件 | 差事件

事件的运算¶

\[A \cup B = \{x | x \in A 或 x \in B\}\]

\[A \cap B = A \cdot B = AB = \{ x| x \in A 且 x \in B\}\]

$\mathop{\cup}\limits_{i=1}^{n} A_i: A_1,A_2,\dots,A_n$至少有一个发生
$\mathop{\cap}\limits_{i=1}^{n}A_i:A_1,A_2,\dots,A_n$同时发生

当$AB = \Phi$时，称事件A与B是互不相容的，或互斥的。

A的逆事件记作$\overline{A}$,$\begin{cases} A\cup \overline{A} &= S \\ A \overline{A} &= \emptyset \end{cases}$,若$\begin{cases} A\cup B &= S \\ A B &= \emptyset \end{cases}$,称AB互逆。

\[A \overline{B} = A - B = \{ x | x \in A 且 x \notin B\}\]

交换律：A∪B = B∪A, A ∩ B = B ∩ A；
结合律：A∪(B∪C) = (A∪B)∪C, A(BC) = (AB)C；
分配律：A(B∪C) = (AB)∪(AC), (AB)∪C = (A∪C)(B∪C);
对偶律 / 德摩根定律(De Morgan's law)：

\[\overline{\mathop{\cup}\limits_{j=1}^n A_j} = \mathop{\cap}\limits_{j=1}^n \overline{A_j}\]

\[\overline{\mathop{\cap}\limits_{j=1}^nA_{j}} = \mathop{\cup}\limits_{j=1}^n\overline{A_j}\]

频率与概率¶

频率¶

定义:

\[f_n(A) = \frac{n_A}{n};\]

称为A在这n次试验中发生的频率。

其中$n_A$——A发生的次数(频数)；n——总试验次数。

频率的性质：

\[ 0 \le f_n(A) \le 1\]
\[f_n(S) = 1\]
若$A_1,A_2,\dots,A_n$两两互不相容，则$f_n(\mathop{\cup}\limits_{i=1}^k A_i) = \sum\limits_{i=1}^k f_n(A_i)$
$f_n(A)$随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p

概率¶

若样本空间 S中的任一事件 A，定义概率 P(A) 满足以下三条公理：

非负性 P(A)≥0；
规范性 / 正则性 P(S)=1；
可列可加性：对于 S 中不相容的事件 $A_i$，有$P(\mathop{\cup}\limits_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} P(A_i)$

由此得到如下几条概率的性质：

对于有限个两两不相容的事件的和事件，有 $P(\mathop{\cup}\limits_{i=1}^{n} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{n} P(A_i)$
$P(A)=1−P(\overline{A})$; 特别的，可以得到 $P(\Phi) = 0$;
当 A⊃B 时，P(A−B)=P(A)−P(B) 且 P(A) $\ge$ P(B);
概率的加法公式：P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(AB) ; 推广即容斥原理；
加法公式的推论：P(A∪B) $\le$ P(A)+P(B);

独立与互斥

要注意，独立和互斥是两种不同的性质，它们并不直接相关。

独立是指 $P(AB) = P(A) \times P(B)$

而互斥是指 $A \cap B = \varnothing$ , 或者说 $P(AB) = 0$ , $P(A + B) = P(A) + P(B)$

Question

甲乙丙3人去参加某个集会的概率均为0.4，其中至少有两人参加的概率为0.3，都参加的概率为0.05，求3人中至少有一人参加的概率。

Answer

等可能概型¶

如果随机事件满足：

S 中样本点数有限；
$∀i,j∈{1,2,...,n},P(e_i)=P(e_j)$，即等可能；

则该试验问题为等可能概型（古典概型）有如下性质：若总事件个数为 N，A 为 n 个基本事件的和事件，则 $P(A) = \frac{n}{N}$

Question

（配对问题⭐(更一般地)）

一个小班有n个同学，编号为1, 2, …, n 号，中秋节前每人准备一件礼物，相应编号为1,2, … ,n。将所有礼物集中放在一起，然后每个同学随机取一件，求没有人拿到自己礼物的概率。

Answer

条件概率¶

定义¶

\[P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}, P(A) \ne 0\]

性质¶

$P(\cdot|A)$ 是概率
非负性：$P(B|A) \ge 0$
规范性：$P(S|A) = 1$
可列可加性： $A_1,A_2,\dots,A_k,\dots$ 两两互斥 $\rightarrow P(\mathop{\cup}\limits_{i=1}^{\infty}A_i|A) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i|A)$
$P(\cdot | A)$ 具有概率的所有性质

Question

天气很好,小王想带家人去千岛湖玩,又想到天目山玩.他有一枚硬币,但不知道这枚硬币出现正面的概率.利用这枚硬币设计一个试验帮他做决定，使得最后他去千岛湖和去天目山的概率相等.

Answer

Question

某单位想从8名业务员中等概率地选取一名去外地出差一年.现有一枚均匀硬币.利用这枚硬币设计一个试验帮这个单位做决定.

Answer

乘法公式¶

$P(AB) = P(A) \cdot P(B | A) = P(B) \cdot P(A| B)$

$P(ABC) = P(A) \cdot P(B | A) \cdot P(C | AB)$

\[P(A_1A_2\dots A_n ) = P(A_1)P(A_2 | A_1)P(A_3 |A_1A_2 ) \dots P(A_n | A_1 \dots A_{n-1})\]

Question

一盒中有5个红球，4个白球，采用不放回抽样，每次取一个，取4次。

(1)已知前两次中至少有一次取到红球，求前两次中恰有一次取到红球的概率；

(2)已知第4次取到红球，求第1，2次也取到红球的概率。

Answer

全概率公式&Bayes公式¶

划分：称 $B_1,B_2,\dots,B_n$ 是样本空间 $S$ 的一个划分，若

不漏 $\mathop{\cup}\limits_{i=1}^{n}B_i = S$
不重 $B_iB_j = \varnothing, i \ne j$

设 $B_1,B_2,\dots,B_n$ 为 $S$ 的一个划分且 $P(B_i) > 0, i = 1,2,\dots,n$ ,则有全概率公式：

\[P(A)=\sum\limits_{j=1}^nP(B_j) \cdot P(A|B_j)\]

对 $P(A) > 0$ 有 Bayes 公式 ：

\[P(B_i|A) = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum\limits_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)}\]

此时，称 $P(B_i)$ 为先验概率，$P(B_i|A)$ 称为后验概率。

Question

根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%的假阳性及5%的假阴性：即设A={试验反应是阳性}，C={被诊断患有癌症}则有：$P(A |C) = 5%, P(A | C ) = 5 %$ .已知某一群体$P(C)=0.005$，问这种方法能否用于普查？

Answer

独立性¶

设 A,B 为两个随机事件，若有 $P(AB)=P(A) \times P(B)$，则 A,B 相互独立(independent)

\[\mathop{\Leftrightarrow}\limits^{P(A) > 0} P(B|A) = P(B)\]

\[\mathop{\Leftrightarrow}\limits^{P(\overline{A}) > 0} P(B|\overline{A}) = P(B)\]

直观含义：A发生与否都不会改变B发生的概率

当出现两个以上的随机事件时，如三个随机事件 A,B,C 当：

\[P(AB)=P(A)*P(B),P(AC)=P(A)*P(C),P(BC)=P(B)*P(C)\]

都成立，则称事件 A,B,C 两两独立；

如果同时还满足：$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ 则称事件 A,B,C相互独立。

注意: $\text{相互独立} \rightarrow \text{两两独立}$ ,但是, $\text{两两独立} \nrightarrow \text{相互独立}$

更普遍的：

定义 $\{A_i\}$ 相互独立 当且仅当

\[\forall i_j, P(\prod\limits_{j=1}^k A_{i_j}) = \prod\limits_{j=1}^k P(A_{i_j}),2 \le k \le n\]

独立试验：指任一次子试验出现的结果都不影响其他各子试验出现的结果；例如观察十期彩票的开奖结果，是独立试验。

重复试验：如果各子试验是在相同条件下进行的。

Question

一袋中有编号为1,2,3,4共4个球，采用有放回抽样，每次取一球，共取2次，记录号码之和，这样独立重复进行试验，求“和等于3”出现在“和等于5”之前的概率。

Answer

Question

设某地每天发生雾霾的概率为0.2.在雾霾天气,该地各居民独立地以概率0.2戴口罩，在没有雾霾的时候各居民独立地以概率0.01戴口罩.某天

(1)在该地任选一居民,求他戴口罩的概率；

(2)若选n人,求他们都戴口罩的概率；

(3)若选n人发现他们都戴口罩,求这一天发生雾霾的概率.(这里n为正整数.)

Answer

球盒问题整理¶

以下问题的前提为 $n\ge m$

$n$ 个相同的球放入 $m$ 个相同的盒子，且盒子不为空。也即将 $n$ 分解为 $m$ 个数的和的不同数目。
$n$ 个相同的球放入 $m$ 个相同的盒子，且盒子可以为空。也即将 $n$ 分解为 $m,m-1,\dots,1$ 个数的和所有种数之和。
$n$ 个相同的球放入 $m$ 个不同的盒子，且盒子不为空。也即 $C_{n-1}^{m-1}$ 。
- 隔板法，也即 $n-1$ 个空放入 $m-1$ 个隔板。
$n$ 个相同的球放入 $m$ 个不同的盒子，且盒子可以为空。也即 $C_{m+n-1}^{m-1}$ 。
- 也是隔板法，但需要稍微变形。问题等价于 $n+m$ 个相同的球放入 $m$ 个不同的盒子，且盒子不为空。

$$ n_1 + n_2 + \dots + n_m = n$$

$$ n_1 , n_2 , \dots, n_m \ge 0$$

$$ (n_1+1)+(n_2+1)+\dots+(n_m+1)=m+n$$

此时每一项 $(n_1+1),(n_2+1),\dots,(n_m+1) \ge 1$ ，即可以使用隔板法。(这种分析方法还是比较实用的，建议掌握)

$n$ 个不同的球放入 $m$ 个相同的盒子，且盒子不为空。
1. 先列出分成不同堆的情况。也即将 $n$ 分解为 $m$ 个数的分类情况。此时再用组合数计算。注意，有几组均分就需要各除以几的阶乘。例如8个球放进3个盒子时一种情况为 $1-1-6$ , 此时的情况数目为 $\frac{C_8^1 \cdot C_7^1 \cdot C_6^6}{A_2^2}$ 。
2. 这是典型的第二类斯特灵数，运用动态规划的思想。
  
  设 $f[n][m]$ 为标准答案。
  
  $f[n][m] =f[n-1][m-1] + m \times f[n-1][m]$
  
  也就是考虑第 $n$ 个数，第 $n$ 个数单独占据一个盒子或第 $n$ 个数和之前的数共占一个盒子。
$n$ 个不同的球放入 $m$ 个相同的盒子，且盒子可以为空。
1. 先列出分成不同堆的情况。也即将 $n$ 分解为 $m,m-1,\dots,1$ 个数的和所有种数之和。此时同样需要注意有几组均分就需要各除以几的阶乘。
2. 同样运用动态规划的思想。
  
  设 $g[n][m]$ 为标准答案。
  
  $g[n][m] = \sum\limits_{i=0}^m g[n][i]$
  
  也即考虑使用了多少个盒子。
$n$ 个不同的球放入 $m$ 个不同的盒子，且盒子不为空。也即 $n$ 个不同的球放入 $m$ 个相同的盒子，且盒子不为空的情况 $\times m!$ 。
$n$ 个不同的球放入 $m$ 个不同的盒子，且盒子可以为空。也即 $m^n$ 。

Chapter 1 概率论的基本概念¶

样本空间与随机事件¶

随机试验的特点¶

样本空间¶

随机事件¶

事件的相互关系¶

事件的运算¶

频率与概率¶

频率¶

概率¶

等可能概型¶

条件概率¶

定义¶

性质¶

乘法公式¶

全概率公式&Bayes公式¶

独立性¶

球盒问题整理¶

评论