Chapter 2 随机变量及其分布¶

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定义：设随机试验的样本空间为$S = \{e\}$，若 $X=X(e)$ 为定义在样本空间$S$上的实值单值函数，则称 $X=X(e)$ 为随机变量。

常用大写字母 X,Y,Z 来表示随机变量
用小写字母 x,y,z 表示其取值。

离散型随机变量¶

定义：取值至多可数的随机变量

若其可能取值为 $\{x_i\}$，则称 $P\{X=x_k\}=p_k$ , $k=1,2,\dots $ 为$X$ 的概率分布律(probability mass function)，也可以用列表的方式表达。

因为样本空间 $S=\{X=x_1,X=x_2,\dots,X=x_n \dots \}$中各样本点两两不相容，所以：

\[1 = P(S) = \sum\limits_{i=1}^{+\infty}P(X = x_i) = \sum\limits_{i=1}^{+\infty}p_i\]

0-1分布/两点分布¶

如果随机变量 X 的概率分布律为：

X	0	1
P	p	1-p

则称 X 为服从参数为 p 的 0−1分布，也称为两点分布，并记为 $X \sim B(1,p)$ 或者 $X \sim 0−1(p)$

它的分布律还可以写为

\[P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k},k = 0,1\]

二项分布¶

定义Bernoulli试验：在 $n$ 次独立重复试验中，每次只有 $A$ 和 $\overline{A}$ 两种结果，且概率不变，则这一系列试验为伯努利试验。

若随机变量 $X$ 表示 $n$ 重贝努力实验中事件A发生的次数，其概率分布律为：

\[P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k},k = 0,1,\dots,n\]

则称 X 为服从参数为 $(n,p)$ 的二项分布(binomial distribution)，并记为 $X \sim B(n,p)$

根据二项式定理，二项分布有如下性质：

\[\sum\limits_{k=0}^n C_n^kp^k(1-p)^{n-k} = 1\]

Question

甲和乙比赛,甲的实力更强一点。每一局甲赢的概率为p,这里$0.5\le p \le1$。设各局胜负相互独立。设k是一正整数.问：对甲而言，$2k-1$局$k$胜制有利还是$2k+1$局$k+1$胜制有利？

Answer

泊松分布¶

若随机变量X的概率分布律为

\[P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},k = 0,1,\dots,\lambda > 0\]

称X服从参数为λ的泊松分布，记

\[X \sim P(\lambda) \text{或} X \sim \pi(\lambda)\]

二项分布与泊松分布有以下近似公式：当$n >10,p <0.1$时，其中，$\lambda = np$

\[C_n^k p^k(1-p)^{n-k} \approx \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\]

超几何分布¶

若随机变量X的概率分布律为

\[P(X = k) = \frac{C_a^{k}C_b^{n-k}}{C_N^n},k = l_1,l_1+1,\dots,l_2\]

其中， $l_1 = max(0,n-b),l_2 = max(a,n)$ 则称 $X$ 服从超几何分布，并记为 $X \sim H(n,a,p)$

几何分布¶

若随机变量X的概率分布律为

\[P(X=k) = p(1-p)^{k-1},k = 1,2,\dots,0<p<1\]

则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布

巴斯卡分布¶

若随机变量X的概率分布律为

\[P(X=k)=C_{k-1}^{r-1}p^r(1-p)^{k-r},k=r,r+1,\dots,0<p<1\]

则称$X$服从参数为$(r,p)$的巴斯卡分布

随机变量的分布函数¶

定义：随机变量X，若对任意实数x，函数$F(x) = P(X \le x)$称为X 的分布函数。

当 $X$ 为离散型随机变量时，设 $X$ 的概率分布律为 $P\{X=x_i\}=p_i,i=1,2,\dots$ 则 $X$的分布函数为：

\[F(x)=P\{X\le x\}=\sum\limits_{x_i \le x}P\{X=x_i\}\]

$F(x)$的性质¶

$F(x)$ 单调不减；
$0 \le F(x) \le 1$ 且 $F(−\infty)=0$，$F(+\infty)=1;$
$F(x)$ 右连续，即 $F(x+0)=F(x)$ , $F(x) - F(x-0)=P(X = x)$ ;
$P(a< X \le b)=F(b)−F(a);$
分布函数 $F(x)$ 在 $x = x_k$ 处有跳跃，其跳跃值为 $p_k = P(X=x_k)$ ;
一般地，离散型随机变量的分布函数为阶梯函数。
要注意是否取等的影响 $F(X \le x_1) = P(X = x_1)$ 而 $F(X < x_1) = 0$ ;

连续型随机变量及其密度函数¶

如果对于随机变量 $X$ ，其分布函数为 $F(x)$，若存在一个非负的实函数 $f(x)$，使对于任意实数 $x$，有：

\[F(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1\]

则称 $X$ 为连续型随机变量，并且称 $f(x)$ 为 $X$ 的概率密度函数，简称为密度函数。

关于 f(x) 有以下结论：

$f(x)\ge 0$；
$\int_{\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$；
$\forall x_1,x_2 \in R (x_1 < x_2),P\{x_1 < X \le x_2 \} = F(x_2) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2}f(t)dt$ ;
在 $f(x)$ 的连续点 $x$ 处， $F′(x)=f(x)$
$P\{X=a\}=0$ ，即连续型随机变量任取一个定值的概率为零，因此连续型随机变量落在开区间与相应闭区间上的概率相等；
与物理学中的质量线密度的定义相类似 $P( x < X \le x+ \Delta x) \approx f( x) \cdot x$

Question

设 $A,B$ 为随机事件，若 $P(A)=1$，则 $A$为必然事件吗？若 $P(B)=0$，则 $B$ 为不可能事件吗？若$P(AB) = 0$ ，则 $A$ 与 $B$ 不相容吗？

Answer

1. 空集发生的概率为0，但0概率事件不一定是空集。例如在(0,1)上取0.5

2. 一个事件发生的概率为1，但不是整个样本空间（去掉0概率那个点即可）

3. AB互斥则P(AB)= 0，但反之不成立。例如A为在(0,1)上去掉0.4，B为在(0,1)上取出0.5

均匀分布¶

设随机变量 $X$就有密度函数：

$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b−a},&x\in (a,b)\\0,&else\end{cases}$

则称 $X$ 服从区间 $(a,b)$上的均匀分布，并记为 $X \sim U(a,b)$

而得到对应的分布函数为：

\[F(x)=\begin{cases}0,&x<a \\ \frac{x−a}{b−a},&a\le x\le b\\1,&x\ge b\end{cases}\]

性质对任何区间 $[a,b]$ 的子区间 $[c,d]$ , $P(X \in [c,d])=\frac{d−c}{b−a}$

Question

杭州某长途汽车站每天从早上6点（第一班车）开始，每隔30分钟有一班车开往上海。王先生在早上6:20过X分钟到达车站，设X服从（0，50）上的均匀分布，

（1）求王先生候车时间不超过15分钟的概率；

（2）如果王先生一月中有两次按此方式独立地去候车，求他一次候车不超过15分钟，另一次候车大于10分钟的概率。

什么时候可以相加？

互斥时才能相加，当这两个事件可以同时发生时就要注意。

Answer

指数分布¶

若随机变量 $X$ 具有密度函数：

\[f(x) = \begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x > 0\\0,&x \le 0\end{cases}\]

其中 $\lambda > 0$，则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$的指数分布(exponential distribution)，记为 $X \sim E(\lambda)$ 或 $X \sim Exp(\lambda)$

指数分布对应的分布函数为：

\[F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\begin{cases}1-e^{-\lambda x}, &x>0\\0,&x \le 0\end{cases}\]

指数分布具有无记忆性，即 $P(X>s∣X>t_0)=P(X>s−t_0)$ 。

Question

某大型设备在任何长度为$t$的区间内发生故障的次数$N(t)$服从参数为$\lambda t$的Poisson分布，记设备无故障运行的时间为 $T$ .

(1)求$T$ 的概率分布函数；

(2)已知设备无故障运行10个小时，求再无故障运行8个小时的概率。

Answer

正态分布¶

如果随机变量 $X$ 具有密度函数：

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{−\frac{(x−\mu)^2}{2\sigma^2}},∣x∣< +\infty\]

其中 $\sigma > 0 ,∣\mu∣<+\infty$为常数，则称 $X$ 服从参数为 $(\mu ,\sigma )$ 的正态分布(normal distribution / Gauss distribution)，或者称 $X$ 为正态变量，记为 $X \sim N(\mu ,\sigma^2)$。

其对应的分布函数为：

\[F(x) = \int_{−\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{−\frac{(t−\mu)^2}{2\sigma^2}}dt\]

在上面出现的式子中，$\mu$ 为位置参数，决定了分布图像的对称轴位置；$\sigma$ 为尺度参数，决定了形状，$\sigma$ 越小，图像越集中。

特别的，当 $\mu = 0, \sigma = 1$时，如果记这时的正态变量为 $Z$，即 $Z∼N(0,1)$ 则它服从标准正态分布(standard normal distribution)。则其密度函数为：

\[\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{−\frac{x^2}{2}},∣x∣< +\infty\]

则对应的分布函数为：

\[\Phi(x) = \int_{−\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{−\frac{t^2}{2}}dt\]

则显然有$\Phi(x) + \Phi(-x) = 1$

而对于不是标准正态分布的正态分布，我们可以通过线性变换（标准化）来转换为标准正态分布：

若 $X∼N(\mu ,\sigma^2)$，则 $P\{a<X<b\}=P\{\frac{a−\mu}{\sigma}< \frac{X−\mu }{\sigma}< \frac{b−\mu}{\sigma} \}= \Phi (\frac{b−\mu }{\sigma})− \Phi (\frac{a−\mu}{\sigma})$
特别的：若 $X∼N(\mu ,\sigma^2)$，则 $P{∣X− \mu ∣< k \sigma }=\Phi (k)− \Phi (−k)= 2 \Phi (k) −1$
若 $X \sim N(\mu ,\sigma^2)$，则 $Y=aX+b \sim N(a\mu +b,a^2\sigma^2)$

随机变量函数的分布¶

关键是找出等价事件。

若Y为离散量

先写出Y的可能取值$y_1,y_2,\dots,y_j,\dots$，再找出$(Y = y_j)$的等价表达事件$(X \in D)$，得$P(Y = y_i) = P(X \in D)$

若Y为连续量

先写出Y的概率分布函数$F_Y(y) = P(Y \le y)$，找出$(Y\le y)$的等价事件$(X \in D)$，得$F_Y(y) = P(X \in D)$，再求出Y的概率密度函数$f_Y(y)$；

如果：

随机变量 $Y=g(X)$；
函数 $y=g(x)$ 为一严格单调（增/减）函数，并且可微；

则记 $y=g(x)$ 的反函数为 $x=h(y)$，得到 $Y$的密度函数为：

\[f_Y(y)= \begin{cases}f_X(h(y)) \cdot∣h′(y)∣,&y \in D\\ 0,&y\notin D\end{cases}\]

其中 $D$ 为 $y=g(x)$ 的值域。

Chapter 2 随机变量及其分布¶

离散型随机变量¶

0-1分布/两点分布¶

二项分布¶

泊松分布¶

超几何分布¶

几何分布¶

巴斯卡分布¶

随机变量的分布函数¶

\(F(x)\)的性质¶

连续型随机变量及其密度函数¶

均匀分布¶

指数分布¶

正态分布¶

随机变量函数的分布¶

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