HW10(习题五、六)¶
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B6¶
Question
设 \(\{X_i,i \ge 1\}\) 为独立同分布的正态随机变量序列，若 \(X_1 \sim N(\mu , \sigma^2)\) ，其中 \(\sigma > 0\) 。问以下的随机变量序列当 \(n \rightarrow +\infty\) 时依概率收敛吗？若收敛。请给出收敛的极限值，否则，请说明理由：
(1) \(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2\);
(2) \(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i - \mu )^2\)
(3) \(\frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{X_1^2 + X_2^2 + \dots + X_n^2}\);
(4) \(\frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{\sqrt{n\sum\limits_{i=1}^n(X_i - \mu)^2}}\);
Answer
(1)\(Var(X_i) = E(X_i^2) - E^2(X_i)\) 得到 \(E(X_i^2) = \mu^2 + \sigma^2\) 也即 \(E(\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i^2) = \mu^2 + \sigma^2\)
\(P(|\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i^2 - E(\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i^2)| \ge \varepsilon ) \le \frac{Var(\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i^2)}{\varepsilon^2} = \frac{1}{n\varepsilon^2}Var(X_i^2)\)
收敛于 \(\mu^2 + \sigma^2\)
(2)同理，收敛于 \(\sigma^2\)
(3)\(\sum\limits_{i=1}^nX_i\) 收敛于 \(n\mu\) 且 \(\sum\limits_{i=1}^nX_i^2\) 收敛于 \(n(\mu^2 + \sigma^2)\) 所以收敛于 \(\frac{\mu}{\mu^2 + \sigma^2}\)
(4)同理，收敛于 \(\frac{\mu}{\sigma}\)
B7¶
Question
设随机变量序列 \(\{X_i,i \ge 1\}\) 独立同分布，都服从期望为 \(\frac{1}{\lambda}\) 的指数分布，其中 \(\lambda > 0\)
(1)若对任意的 \(\varepsilon > 0\) ，均有 \(\mathop{\lim}\limits_{n \rightarrow +\infty}P\{|\frac{X_1^2 + X_2^2 + \dots + X_n^2}{n} -a| < \varepsilon \} = 1\) 成立，求 \(a\) ；
(2)给出 \(\frac{1}{50} \sum\limits_{i=1}^{100} X_i\) 的近似分布；
(3)求 \(P\{\frac{1}{100} \sum\limits_{i=1}^{100} X_i^2 \le \frac{2}{\lambda^2} \}\) 的近似值；
Answer
- \(a = E(X_i^2) = (\frac{1}{\lambda})^2 + \frac{1}{\lambda^2}\) (指数分布的期望为 \(\frac{1}{\lambda}\) ，方差为 \(\frac{1}{\lambda^2}\))
解得 \(a = \frac{2}{\lambda^2}\)
所以 \(\frac{1}{50} \sum\limits_{i=1}^{100} X_i \mathop{\sim}\limits^{\text{近似}} N(\frac{2}{\lambda}, \frac{1}{25\lambda^2})\)
- 对于 \(X_i \sim E(\lambda)\)
B9(2)¶
Question
设随机变量 \(X\) 服从辛普森(Simpson)分布(亦称三角分布)，密度函数为
(2)要保证至少有 \(95\%\) 的把握使事件 \(\{\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2} \}\) 出现的次数不少于80，问至少需要进行多少次观察？
Answer
出现次数 \(Y \sim B(n,\frac{3}{4})\)，因此当 \(n\) 足够大时，\(Y \sim N(np,np(1-p)) = N(\frac{3}{4}n,\frac{3}{16}n)\)
查表得 \(\frac{80 - \frac{3}{4}n}{\sqrt{\frac{3}{16}n}} > 1.64\)，解得 \(n \ge 117\)
B11¶
Question
某次“知识竞赛”规则如下：参赛选手最多可抽取3个相互独立的问题——回答：如果答错就被淘汰，进而失去回答下一题的资格；每答对一题得1分，若3题都对则再加1分(即共得4分).现有100名参赛选手，每人独立答题.
(1)若每人至少答对一题的概率为0.7,用中心极限定理计算“最多有35人得0分”的概率；
(2)若题目的难易程度类似，每人答对每题的概率均为0.8,求这100名参赛选手的总分超过220分的概率.
Answer
- 记得0分 \(X\) 人 \(X_i \sim B(1,0.3)\)，\(X \sim B(100,0.3)\)
所以 \(X \sim N(30,21)\)
- 记 \(Y\) 为总分
A1¶
Question
假设 \(X_1, X_2, \dots , X_n\) 是从总体X中抽取的样本 \((n \ge 1)\) .当总体X服从如下分布时，写出样本的联合分布律或联合密度函数：
(1)总体服从二项分布B(10,0.2):
(2)总体服从泊松分布P(1):
(3)总体服从标准正态分布N(0,1);
(4)总体服从指数分布E(1).
Answer
3.
4.
A3¶
Question
从总体X中抽取样本容量为5的样本，其观测值为2.6,4.1,3.2,3.6,2.9,计算样本均值、样本方差和样本二阶中心矩
Answer
样本均值：
样本方差：
样本二阶中心矩：