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HW13(习题七)

约 1000 个字 预计阅读时间 5 分钟

A11

Question

某机器生产的螺杆直径X(单位：mm)服从正态分布 \(N(\mu,0.3^2)\),

(1)从总体中抽取样本容量为 5 的样本.测得直径：22.3.21.5.21.8,21.4,22.1,试在 95% 的置信水平下求该机器所生产的螺杆平均直径 \(\mu\) 的置信区间：

(2)若要使螺杆的平均直径 \(\mu\) 的置信水平为 95% 的置信区间长度不超过 0.2 ,问样本容量 n 至少应取多大?

Answer
  1. 计算得 \(\overline{X} = 21.82\)

查表得 \(z_{0.025} = 1.96\)

\[\therefore (\overline{X} - z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X} + z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}) = (21.557,22.083)\]
\[\therefore 2 \cdot z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq 0.2\]
\[\therefore n \geq \lceil (\frac{2 \cdot 1.96 \cdot 0.3}{0.2})^2 \rceil = 35\]

A12

Question

某工厂生产的灯泡寿命 \(X\) (单位：h) 服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) , \(\mu,\sigma\) 未知,从已生产的一大批灯泡中采用无放回抽样方式抽取 15 只,测得其寿命如下:

4040 2990 2964 3245 3026 3633 3387 4136

3595 3194 3714 2831 3845 3410 3004

(1) 求 \(\mu\) 的置信水平为 95% 的置信区间;

(2) 求 \(\mu\) 的置信水平为 95% 的单侧置信下限.

Answer
  1. 计算得 \(\overline{X} = \frac{51014}{15} \approx 3400.9333, s^2 \approx 170399.7810\)

查表得 \(t_{0.025}(14) = 2.1448\)

\[\therefore (\overline{X} - t_{0.025}(14)\frac{s}{\sqrt{n}},\overline{X} + t_{0.025}(14)\frac{s}{\sqrt{n}}) = (3172.3336,3629.5330)\]
  1. 查表得 \(t_{0.05}(14) = 1.7613\)
\[\therefore \overline{X} - t_{0.05}(14)\frac{s}{\sqrt{n}} = 3213.2083\]

A14

Question

为比较甲、乙两种肥料对产量的影响,研究者选择了 10 块田地,将每块田地分成大小相同的两块,随机选择一块用甲肥料,另一块用乙肥料,其他条件保持相同,得到的产量(单位:kg)

数据如下:

甲肥料 109 98 97 100 104 102 94 99 103 108
乙肥料 107 105 110 118 109 113 111 95 112 101

假设甲、乙两种肥料的产量差服从正态分布，试在 95% 的置信水平下推断甲、乙两种肥料的平均产量差值的范围!

Answer

计算得 \(\overline{D} = \frac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10} (X_i - Y_i) = -6.7 ,s_D \approx 8.6801\)

查表得 \(t_{0.025}(9) = 2.2622\)

\[\therefore (\overline{D} - t_{0.0025}(9)\frac{s_D}{\sqrt{n}},\overline{D} + t_{0.025}(9)\frac{s_D}{\sqrt{n}}) = (-12.9095,-0.4905)\]

A16

Question

已知某种电子管使用夺命(单位:h)服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) , \(\mu,\sigma\) 未知,从一批电子管中随机抽取 16 只,检测结果得样本标准差为 300h.在置信水平 95% 下求:

(1) \(\sigma\) 的置信区间;

(2) \(\sigma\) 的单侧置信上限.

Answer
  1. 查表得 \(\chi_{0.025}^{2}(15) = 27.488\) , \(\chi_{0.975}^{2}(15) = 6.262\)
\[\therefore (\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi_{0.025}^{2}(15)}},\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi_{0.975}^{2}(15)}}) = (221.613, 464.312)\]
  1. 查表得 \(\chi_{0.95}^{2}(15) = 7.261\)
\[\therefore \sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi_{0.95}^{2}(15)}} = 431.190\]

A18

Question

某厂的一台瓶装灌装机,每瓶的净重 \(X\) 服从正态分布 \(N(\mu_1,\sigma_1^2)\) 从中随机抽出 16 瓶,称得其净重的平均值为 456.64 g,标准差为 12.8 g;现引进了一台新灌装机,其每瓶的净重 \(Y\) 服从正态分布 \(N(\mu_2,\sigma_2^2)\) ,从中随机抽出 12 瓶,称得其净重的平均值为 451.34 g,标准差为 11.3 g.

(1)假设 \(\sigma_1 =13,\sigma_2=12\) ,求 \(\mu_1 - \mu_2\) 的置信水平为 95% 的置信区间;

(2)假设 \(\sigma_1 = \sigma_2\) 未知,求 \(\mu_1 - \mu_2\) 的置信水平为 95% 的置信区间;

(3)求 \(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\) 的置信水平为 95% 的置信区间.

Answer
  1. 查表得 \(z_{0.025} = 1.96\)
\[\therefore ((\overline{X} - \overline{Y}) - z_{0.025} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}},(\overline{X} - \overline{Y}) + z_{0.025} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}) = (-4.01, 14.61)\]
  1. 查表得 \(t_{0.025}(26) = 2.0555\)

计算得 \(s_w = \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}} \approx 12.1879\)

\[\therefore ((\overline{X} - \overline{Y}) - t_{0.025}(26) \sqrt{\frac{s_w^2}{n_1} + \frac{s_w^2}{n_2}},(\overline{X} - \overline{Y}) + t_{0.025}(26) \sqrt{\frac{s_w^2}{n_1} + \frac{s_w^2}{n_2}}) = (-4.267, 14.867)\]
  1. 查表得 \(F_{0.025}(15,11) = 3.33,F_{0.975}(15,11) = \frac{1}{F_{0.025}(11,15)} \approx 0.332\)
\[\therefore (\frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.025}(15,11)},\frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.975}(15,11)}) = (0.3853,3.8590)\]

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