HW4(习题二)¶
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B16¶
Question
设随机变量X具有以下性质：当 \(0 \le x \le 1\) 时，\(P\{0\le X \le x\}=\frac{x}{2}\);当\(2\le x \le 3\) 时，\(P\{2 \le X \le x\}=\frac{x-2}{2}\)
(1)写出X的分布函数；
(2)求\(P\{X≤2.5\}.\)
Answer
-
\(F(x) = \begin{cases}0,&x<0\\ \frac{x}{2},&0 \le x < 1\\ \frac{1}{2}.&1 \le x < 2 \\ \frac{x-1}{2}, &2 \le x < 3 \\ 1, & x \ge 3\end{cases}\)
-
\(P\{X \le 2.5\} = F(2.5) = \frac{3}{4}\)
B17¶
Question
设随机变量 \(X\) 的密度函数为
(1)求常数c;
(2)求X的分布函数 \(F(x)\) ;
(3)求 \(P\{-1<X<1\}\) ;
(4)对 \(X\) 独立观察5次，求事件\(\{-1<X<1\}\) 恰好发生2次的概率.
Answer
-
\(\int_{0}^{2} f(x)dx = 1 \rightarrow c = \frac{3}{16}\)
-
\(F(x) = \int f(x)dx = \begin{cases}0, &x<0 \\ -\frac{1}{16}x^3 + \frac{3}{4}, & 0 \le x <2 \\ 1, & x \ge 2 \end{cases}\)
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\(P\{ -1 < x < 1 \} = F(1) - F(-1) = \frac{11}{16}\)
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\(C_5^2 \cdot (\frac{11}{16})^2 \cdot (\frac{5}{16})^3 = \frac{75625}{524288}\)
B18¶
Question
设随机变量 \(X\) 的分布函数为
(1)求常数 \(a\) , \(b\);
(2)求 \(X\) 的密度函数 \(f(x)\);
(3)求 \(P\{0.5 <X<1.5\}\);
Answer
-
\(\begin{cases} F(1^-) = F(1^+) \\ F(2) = 1\end{cases} \rightarrow \begin{cases} a=\frac{1}{2} \\ b = \frac{1}{2} \end{cases}\)
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\(f(x) = F'(x) = \begin{cases} x, & 0<x<1 \\ \frac{1}{2}, & 1< x<2 \\ 0,&\text{其他}\end{cases}\)
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\(P\{0.5 <X<1.5\} = F(1.5) - F(0.5) = \frac{5}{8}\)
B19¶
Question
已知在早上7:00—8:00有两班车从A校区到B校区，出发时间分别是7:30和7:50,一学生在7:20—7:45随机到达车站乘这两班车.
(1)求该学生等车时间小于10 min的概率；
(2)求该学生等车时间大于5 min且小于15 min的概率；
(3)已知该学生等车时间大于5 min的条件下，求他能赶上7:30这班车的概率.
Answer
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7:20-7:30，7:40-7:45 \(\rightarrow \frac{15}{25} = \frac{3}{5}\)
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7:20-7:25， 7:35-7:45 \(\rightarrow \frac{15}{25} = \frac{3}{5}\)
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7:20-7:25， 7:30-7:45 \(\rightarrow P_1 = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}\)，7:20-7:25 \(\rightarrow P_2 = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \Rightarrow P = \frac{P_2}{P_1} = \frac{1}{4}\)
B29¶
Question
设甲、乙两厂生产的同类型产品寿命(单位：年)分别服从参数为 \(\frac{1}{3}\) 和 \(\frac{1}{6}\) 的指数分布，将两厂的产品混在一起，其中甲厂的产品数占40%.现从这批混合产品中随机取一件.
(1)求该产品寿命大于6年的概率；
(2)若已知取到的是甲厂产品，在已用了4个月没有坏的条件下，求其用到1年还不坏的概率；
(3)在该产品已用了4个月没有坏的条件下，求其用到1年还不坏的概率.
Answer
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\(x =6 \rightarrow P_{\text{甲}} = 1 - F_{\text{甲}} = e^{-2} \quad P_{\text{乙}} = 1 - F_{\text{乙}} = e^{-1} \rightarrow P = 0.4 \cdot e^{-2} + 0.6 \cdot e^{-1}\)
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\(P = \frac{P_{\text{一年}}}{P_{\text{四个月}}} = e^{-\frac{2}{9}}\)
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\(P = \frac{0.4 \cdot e^{-\frac{1}{3}} + 0.6 \cdot e^{-\frac{1}{6}}}{ 0.4 \cdot e^{-\frac{1}{9}} + 0.6 \cdot e^{-\frac{1}{18}}}\)