HW6(习题三)
A11
Question
设二维离散型随机变量 \((X,Y)\) 的联合分布律为
| X\Y |
0 |
1 |
2 |
| 0 |
0.1 |
0.1 |
0 |
| 1 |
0 |
0.2 |
0.2 |
| 2 |
0.2 |
0 |
0.2 |
记 \(F(x,y),F_X(x)\) 分别是 \((X,Y)\) 的联合分布函数和 \(X\) 的边际分布函数.
(1)求 \(F(0,1),F(1,1.5),F(2.1,1.1)\);
(2)求 \(F_X(x)\)
Answer
\(F(0,1) = P(X=0,Y=1) + P(X=0,Y=1) = 0.1 + 0.1 = 0.2\)
\(F(1,1.5) = P(X=0,Y=0) + P(X=0,Y=1) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=0)\)
\(\quad \quad \quad \quad + P(X=1,Y=1) = 0.1 + 0.1 + 0 + 0 + 0.2 = 0.4\)
\(F(2.1,1.1) = P(X=0,Y=0) + P(X=0,Y=1) + P(X=1,Y=0) + P(X=1,Y=1)\)
\(\quad \quad \quad \quad + P(X=2,Y=0) + P(X=2,Y=1) = 0.1 + 0.1 + 0 + 0.2 + 0.2 + 0 = 0.6\)
2.
\[F_X(x) = \begin{cases}0,&x<0 \\ 0.2,&0 \le x < 1 \\ 0.6,& 1 \le x < 2\\ 1,& 2 \le x\end{cases}\]
A12
Question
设二维离散型随机变量 \((X,Y)\) 的边际分布函数为
\(F_X(x) = \begin{cases}0,&x<1\\ 0.3,&1 \le x < 2\\ 1,& x\ge 2\end{cases},F_Y(y) = \begin{cases}0,&y<0 \\ 0.4,& 0 \le y <1 \\ 1,&y \ge 1\end{cases}\)
且已知 \(P\{X=1,Y=0\}=0.1\)
(1)求 \((X,Y)\) 的联合分布律;
(2)求给定 \(\{Y = 0\}\) 的条件下 \(X\) 的条件分布函数.
Answer
| X\Y |
0 |
1 |
| 1 |
0.1 |
0.2 |
| 2 |
0.3 |
0.4 |
2.
\[F_{X|Y}(X|0) = \begin{cases}0,&x<1 \\ \frac{1}{4},&1 \le x < 2\\ 1,& x \ge 2\end{cases}\]
A17
Question
二维随机变量 \((X,Y)\) 的联合密度函数为
\[f(x,y) = \begin{cases}e^{-x},&0<y<x\\ 0,&其他\end{cases}\]
(1)分别求 \(X\) 和 \(Y\) 的边际密度函数 \(f_X(x)\) 和 \(f_Y(y)\);
(2)求条件密度函数 \(f_{Y|X}(y|x)\).
(3)给定 \(\{X = x\}\) 的条件下， \(Y\) 的条件分布是均匀分布吗？为什么？
Answer
1.
\[f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dy = \begin{cases}xe^{-x},&x >0 \\ 0,&\text{其他}\end{cases}\]
\[f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)dx = \begin{cases}e^{-y},&y >0 \\ 0,&\text{其他}\end{cases}\]
- 当 \(x > 0\) 时，
\[f_{Y|X}(y|x) = \begin{cases}\frac{1}{x},&0<y<x\\ 0,&\text{其他}\end{cases}\]
- 当 \(y >0\) 时，
\[f_{Y|X}(y|x) = \begin{cases}\frac{1}{x},&0<y<x \\ 0,& \text{其他}\end{cases}\]
\[\therefore \text{为均匀分布}\]
A19
Question
设 \((X,Y)\) 为二维随机变量， \(X\) 的密度函数为
\[f_X(x) = \begin{cases}\lambda^2xe^{-\lambda x},&x>0\\0,&x\le 0\end{cases}\]
其中 \(\lambda >0\) ,当 \(x>0\) 时， 给定 \(\{X=x\}\) 的条件下 \(Y\) 的条件密度函数为
\[f_{Y|X}(y|x) = \begin{cases}\frac{1}{x}e^{-\frac{y}{x}},&y > 0 \\ 0,&y \le 0\end{cases}\]
(1)求 \(X\) 和 \(Y\) 的联合密度函数;
(2)求当 \(x>0\) 时，给定 \(\{X=x\}\) 的条件下 \(Y\) 的条件分布函数;
(3)求 \(P\{Y>1|X=1\}\).
Answer
\[f(x,y) = \begin{cases} \lambda^2e^{-(\frac{y}{x}+\lambda x)},&x>0,y>0 \\ 0,&\text{其他}\end{cases}\]
\[f_{Y|X}(y|x) = \begin{cases} \frac{1}{x} e^{-\frac{y}{x}},& x>0,y>0 \\ 0,&\text{其他}\end{cases}\]
\[F_{Y|X}(y|x) = \begin{cases} 1-e^{-\frac{y}{x}},& y >0 \\ 0,& y \le 0\end{cases}\]
\[P\{Y \le 1 | X = 1\} = 1-e^{-1}\]
\[\therefore P\{Y > 1 | X = 1\} = e^{-1}\]
A27
Question
在半圆 \(D = \{(x,y):x^2+y^2 \le 1,x>0\}\) 内随机投点 \(A\) ，设 \(A\) 点的坐标为 \((X,Y)\).
(1)求 \(X\) 的边际密度函数函数 \(f_X(x)\) ;
(2)求 \(P\{X<\frac{1}{2}\}\);
(3) \(X\) 与 \(Y\) 相互独立？为什么？
Answer
1.
\[S = \frac{1}{2} \pi\]
\[f(x,y) = \begin{cases}\frac{2}{\pi},&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\]
\[f_X(x) = \begin{cases}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{2}{\pi}dy = \frac{4\sqrt{1-x^2}}{\pi},& 0<x \le 1 \\ 0,& \text{其他}\end{cases}\]
\[P\{X < \frac{1}{2}\} = F_X(\frac{1}{2}) = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{4\sqrt{1-x^2}}{\pi}dx = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2\pi}\]
\[f_Y(y) = \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \frac{2}{\pi}x dx = \frac{2}{\pi} \sqrt{1-y^2}, -1 \le y \le 1\]
\[f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) \cdot f_Y(y)\]
\[\therefore \text{不独立}\]
B4
Question
设二维随机变量 \((X,Y)\) 的联合密度函数为
\[f(x,y) = \begin{cases}c(y-x),&0<x<y<1\\ 0,&其他\end{cases}\]
(1)求常数 \(c\) ;
(2)求 \(P\{X+Y \le 1\}\) ;
(3)求 \(P\{X<0.5\}\) .
Answer
1.
\[\int_0^1dy\int_0^yc(y-1)dx = \frac{1}{6}c = 1\]
\[\therefore c = 6\]
\[P\{X+Y \le 1\} = \int_0^{\frac{1}{2}}dx\int_x^{1-x}6(y-x)dy = \frac{1}{2}(2x-1)^3 |_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\]
\[P\{X<0.5\} = \int_0^{0.5}dx\int_x^{1}6(y-x)dy = (x-1)^3 |_0^{\frac{1}{2}} = \frac{7}{8}\]