HW8(习题四)¶
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A4¶
Question
设二维离散型随机变量 \((X,Y)\) 的联合分布律为
| X\Y | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 |
| 2 | 0.2 | 0 | 0.2 |
求随机变量 \(Z\) 的数学期望 \(E(Z)\);
(1) \(Z = XY\)
(2) \(Z = min\{X,Y\};\)
(3)\(Z = max\{X,Y\};\)
Answer
-
\(E(Z) = 1 \times 0.1 + 2 \times 0.3 + 4 \times 0.2 = 1.5\)
-
\(E(Z) = 1 \times 0.4 + 2 \times 0.2 = 0.8\)
-
\(E(Z) = 1 \times 0.3 + 2 \times 0.7 = 1.7\)
B6¶
Question
设二维离散型随机变量 \((X,Y)\) 的联合密度函数为
(1)求 \(E(X)\)
(2)求 \(E(3X-1)\)
(3)求 \(E(XY)\)
Answer
-
\(E(X) = \int_0^{+\infty} x (\int_0^xf(x,y)dy)dx = \frac{1}{2}\)
-
\(E(3X-1) = 3E(X)-1 = \frac{1}{2}\)
-
\(E(XY) = \int (xy)f(x,y)d(xy) = \frac{1}{4}\)
B11¶
Question
某电子监视器的圆形屏幕半径为 \(r(r>0)\) ,若目标出现的位置点 \(A\) 服从均匀分布.以圆形屏幕的圆心为原点，设点A的平面直角坐标为 \((X,Y)\).
(1)求 \(E(X)\) 与 \(E(Y)\);
(2)求点A与屏幕中心位置(0,0)的平均距离
Answer
-
\(E(X) = E(Y) = \int_{-r}^r x (\int_{-\sqrt{r^2 - x^2}}^{\sqrt{r^2 - x^2}} \frac{1}{\pi r^2}dy) dx = 0\)
-
\(E(\sqrt{x^2+y^2}) = \mathop{\int \int}\limits_{x^2+y^2 \le r^2} \sqrt{x^2+y^2} \cdot \frac{1}{\pi r^2} dxdy \mathop{=}\limits^{\textbf{极坐标变换}} \int_0^{2 \pi}d\theta \int_0^r \frac{R^2}{\pi r^2}dR= \frac{2}{3}r\)
⭐积分变换
二重积分从直角坐标系变换为极坐标的变换公式
三重积分从直角坐标系变换为球面坐标的变换公式
B14¶
Question
有n张各不相同的卡片，采用有放回抽样，每次取一张，共取n次，则有些卡片会被取到，甚至被取到很多次，但有些卡片可能不曾被取到.设这n张卡片中被取到的共有X张，计算E(X),并计算当 \(n \rightarrow +\infty\) 时，\(E(\frac{X}{n})\) 的极限.
Answer
这张卡被抽到过 \(P = 1 - (1-\frac{1}{n})^n\)
B15¶
Question
在区间(0,1)中随机地取n(n \(\ge\) 2)个点，求相距最远的两个点的距离的数学期望
Answer
当n较大时可视作每个点之间相距\(\frac{1}{n+1}\)，所以\(E(X) = 1 - \frac{2}{n+1} = \frac{n-1}{n+1}\)
B20¶
Question
设随机变量X服从拉普拉斯分布，密度函数为
计算 \(X\) 与 \(|X|\) 的方差